Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.
Ce raisonnement est devenu un choc logique pour toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ... les discussions se poursuivent à ce jour, la communauté scientifique n'a pas encore réussi à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes ... l'analyse mathématique, la théorie des ensembles, de nouvelles approches physiques et philosophiques ont été impliquées dans l'étude de la question ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "L'aporie de Zeno". Tout le monde comprend qu'il se fait berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.
D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. D’après ce que je comprends, l’appareil mathématique permettant d’utiliser des unités de mesure variables n’a pas encore été développé, ou bien il n’a pas été appliqué à l’aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. D'un point de vue physique, cela ressemble à un temps qui ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.
Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court à une vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».
Comment éviter ce piège logique ? Restez en unités de temps constantes et ne passez pas aux unités réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :
Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.
Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais cela ne constitue pas une solution complète au problème. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.
Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :
Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.
Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à une voiture, vous avez besoin de deux photographies prises à partir de différents points de l'espace à un moment donné, mais à partir d'elles, vous ne pouvez pas déterminer le fait du mouvement (bien sûr, vous avez toujours besoin de données supplémentaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera ). Ce que je veux souligner Attention particulière, c'est que deux points dans le temps et deux points dans l'espace sont des choses différentes qu'il ne faut pas confondre, car ils offrent des opportunités de recherche différentes.
mercredi 4 juillet 2018
Les différences entre set et multiset sont très bien décrites sur Wikipédia. Voyons.
Comme vous pouvez le voir, « il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble », mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé « multiensemble ». Les êtres raisonnables ne comprendront jamais une logique aussi absurde. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui n'ont aucune intelligence du mot « complètement ». Les mathématiciens agissent comme de simples formateurs, nous prêchant leurs idées absurdes.
Il était une fois, les ingénieurs qui ont construit le pont se trouvaient dans un bateau sous le pont pendant qu'ils testaient le pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait résister à la charge, le talentueux ingénieur construisait d'autres ponts.
Peu importe la manière dont les mathématiciens se cachent derrière l’expression « attention, je suis à la maison » ou plutôt « les mathématiques étudient les concepts abstraits », il existe un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. Appliquons la théorie mathématique des ensembles aux mathématiciens eux-mêmes.
Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse et distribuons les salaires. Alors un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons le montant total et le disposons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et donnons au mathématicien son « salaire mathématique ». Expliquons au mathématicien qu'il ne recevra les factures restantes que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec des éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.
Tout d’abord, la logique des députés fonctionnera : « Cela peut s’appliquer aux autres, mais pas à moi ! Ensuite, ils commenceront à nous rassurer sur le fait que les billets de même valeur ont des numéros de billets différents, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. D'accord, comptons les salaires en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : différentes pièces de monnaie ont différentes quantités de saleté, la structure cristalline et la disposition des atomes sont uniques pour chaque pièce...
Et maintenant j'ai le plus intérêt Demander: où est la ligne au-delà de laquelle les éléments d'un multiset se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamanes, la science n'est même pas près de mentir ici.
Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football ayant la même superficie de terrain. Les zones des champs sont les mêmes, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on regarde les noms de ces mêmes stades, on en trouve beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le constater, le même ensemble d’éléments est à la fois un ensemble et un multiensemble. Qui est correct? Et ici, le mathématicien-chaman-aiguiseur sort un as d'atout de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiensemble. En tout cas, il nous convaincra qu’il a raison.
Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous le montrer, sans aucun « concevable comme un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».
dimanche 18 mars 2018
La somme des chiffres d’un nombre est une danse de chamanes avec un tambourin, qui n’a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d’un nombre et à l’utiliser, mais c’est pourquoi ils sont chamanes, pour enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes disparaîtront tout simplement.
Avez-vous besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipédia et essayez de trouver la page "Somme des chiffres d'un nombre". Elle n'existe pas. Il n’existe aucune formule mathématique permettant de calculer la somme des chiffres d’un nombre quelconque. Après tout, les nombres sont des symboles graphiques avec lesquels nous écrivons des nombres, et dans le langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : « Trouvez la somme des symboles graphiques représentant n'importe quel nombre ». Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamanes peuvent le faire facilement.
Voyons quoi et comment nous faisons pour trouver la somme des chiffres d'un nombre donné. Et donc, ayons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Considérons toutes les étapes dans l'ordre.
1. Notez le numéro sur une feuille de papier. Qu'avons-nous fait? Nous avons converti le nombre en un symbole numérique graphique. Ce n'est pas une opération mathématique.
2. Nous découpons une image résultante en plusieurs images contenant des numéros individuels. Découper une image n’est pas une opération mathématique.
3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Ce n'est pas une opération mathématique.
4. Ajoutez les nombres résultants. Maintenant, ce sont des mathématiques.
La somme des chiffres du nombre 12345 est 15. Ce sont les « cours de coupe et de couture » dispensés par les chamanes et utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.
D'un point de vue mathématique, peu importe dans quel système numérique nous écrivons un nombre. Ainsi, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d’un même nombre sera différente. En mathématiques, le système numérique est indiqué en indice à droite du nombre. Avec le grand nombre 12345, je ne veux pas me tromper, considérons le nombre 26 de l'article sur. Écrivons ce nombre dans les systèmes numériques binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n’examinerons pas chaque étape au microscope, nous l’avons déjà fait. Regardons le résultat.
Comme vous pouvez le constater, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d'un même nombre est différente. Ce résultat n'a rien à voir avec les mathématiques. C’est comme si vous déterminiez l’aire d’un rectangle en mètres et en centimètres, vous obtiendriez des résultats complètement différents.
Le zéro se ressemble dans tous les systèmes numériques et n’a pas de somme de chiffres. C'est un autre argument en faveur du fait que. Question pour les mathématiciens : comment désigne-t-on en mathématiques quelque chose qui n'est pas un nombre ? Quoi, pour les mathématiciens, rien n’existe à part les nombres ? Je peux autoriser cela pour les chamanes, mais pas pour les scientifiques. La réalité n’est pas qu’une question de chiffres.
Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec des unités de mesure différentes. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure de la même quantité conduisent à résultats différents après les avoir comparés, cela signifie que cela n'a rien à voir avec les mathématiques.
Que sont les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat d'une opération mathématique ne dépend pas de la taille du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue cette action.
Oh! Ce n'est pas les toilettes des femmes ?
- Jeune femme! Il s'agit d'un laboratoire pour l'étude de la sainteté indéphilique des âmes lors de leur ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelles autres toilettes ?
Femelle... Le halo en haut et la flèche vers le bas sont masculins.
Si une telle œuvre d'art du design clignote devant vos yeux plusieurs fois par jour,
Il n’est alors pas surprenant que vous trouviez soudainement une étrange icône dans votre voiture :
Personnellement, je m'efforce de voir moins quatre degrés chez une personne qui fait caca (une image) (une composition de plusieurs images : un signe moins, le chiffre quatre, une désignation de degrés). Et je ne pense pas que cette fille soit une idiote qui ne connaît pas la physique. Elle a juste un fort stéréotype de perception des images graphiques. Et les mathématiciens nous l’enseignent tout le temps. Voici un exemple.
1A n’est pas « moins quatre degrés » ou « un a ». Il s’agit de « l’homme qui fait caca » ou du nombre « vingt-six » en notation hexadécimale. Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement un chiffre et une lettre comme un seul symbole graphique.
Nous commencerons notre étude de la trigonométrie par le triangle rectangle. Définissons ce que sont le sinus et le cosinus, ainsi que la tangente et la cotangente d'un angle aigu. Ce sont les bases de la trigonométrie.
Rappelons que angle droit est un angle égal à 90 degrés. En d’autres termes, un demi-angle tourné.
Angle vif- moins de 90 degrés.
Angle obtus- supérieur à 90 degrés. Par rapport à un tel angle, « obtus » n'est pas une insulte, mais un terme mathématique :-)
Traçons un triangle rectangle. Un angle droit est généralement noté . Veuillez noter que le côté opposé au coin est indiqué par la même lettre, seulement en petite. Ainsi, le côté opposé à l'angle A est désigné .
L'angle est indiqué par le correspondant lettre grecque.
Hypoténuse d'un triangle rectangle est le côté opposé à l'angle droit.
Jambes- les côtés opposés aux angles aigus.
La jambe située à l'opposé de l'angle s'appelle opposé(par rapport à l'angle). L'autre jambe, qui se trouve sur l'un des côtés de l'angle, s'appelle adjacent.
Sinus L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :
Cosinus angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
Tangente angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport du côté opposé au côté adjacent :
Autre définition (équivalente) : la tangente d'un angle aigu est le rapport du sinus de l'angle à son cosinus :
Cotangente angle aigu dans un triangle rectangle - le rapport du côté adjacent au côté opposé (ou, ce qui revient au même, le rapport du cosinus au sinus) :
Notez les relations de base pour le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente ci-dessous. Ils nous seront utiles pour résoudre des problèmes.
Prouvons-en quelques-uns.
D'accord, nous avons donné des définitions et des formules écrites. Mais pourquoi avons-nous encore besoin de sinus, cosinus, tangente et cotangente ?
Nous savons que la somme des angles de tout triangle est égale à.
Nous connaissons la relation entre des soirées triangle rectangle. C'est le théorème de Pythagore : .
Il s'avère qu'en connaissant deux angles dans un triangle, vous pouvez trouver le troisième. Connaissant les deux côtés d’un triangle rectangle, vous pouvez trouver le troisième. Cela signifie que les angles ont leur propre rapport et que les côtés ont le leur. Mais que faire si dans un triangle rectangle vous connaissez un angle (sauf l'angle droit) et un côté, mais que vous devez trouver les autres côtés ?
C’est ce que les gens rencontraient autrefois lorsqu’ils dressaient des cartes de la région et du ciel étoilé. Après tout, il n’est pas toujours possible de mesurer directement tous les côtés d’un triangle.
Sinus, cosinus et tangente - on les appelle aussi fonctions d'angle trigonométrique- donner des relations entre des soirées Et coins Triangle. Connaissant l'angle, vous pouvez retrouver toutes ses fonctions trigonométriques à l'aide de tableaux spéciaux. Et connaissant les sinus, cosinus et tangentes des angles d’un triangle et d’un de ses côtés, vous pouvez trouver le reste.
Nous dresserons également un tableau des valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour les « bons » angles de à.
Veuillez noter les deux tirets rouges dans le tableau. Aux valeurs d'angle appropriées, la tangente et la cotangente n'existent pas.
Examinons plusieurs problèmes de trigonométrie de la banque de tâches FIPI.
1. Dans un triangle, l’angle est , . Trouver .
Le problème est résolu en quatre secondes.
Parce que le , .
2. Dans un triangle, l'angle est , , . Trouver .
Trouvons-le en utilisant le théorème de Pythagore.
Le problème est résolu.
Souvent, dans les problèmes, il y a des triangles avec des angles et ou avec des angles et. Retenez par cœur les ratios de base pour eux !
Pour un triangle avec des angles et la branche opposée à l'angle en est égale à la moitié de l'hypoténuse.
Un triangle avec des angles et est isocèle. Dans celui-ci, l'hypoténuse est plusieurs fois plus grande que la jambe.
Nous avons examiné des problèmes pour résoudre des triangles rectangles, c'est-à-dire trouver des côtés ou des angles inconnus. Mais ce n'est pas tout! Il existe de nombreux problèmes dans l'examen d'État unifié en mathématiques qui impliquent le sinus, le cosinus, la tangente ou la cotangente d'un angle externe d'un triangle. Plus d’informations à ce sujet dans le prochain article.
La trigonométrie, en tant que science, est originaire de l'Orient ancien. Les premiers rapports trigonométriques ont été dérivés par des astronomes pour créer un calendrier et une orientation précis par les étoiles. Ces calculs concernaient la trigonométrie sphérique, tandis que dans les cours scolaires, ils étudiaient le rapport des côtés et des angles d'un triangle plan.
La trigonométrie est une branche des mathématiques qui traite des propriétés des fonctions trigonométriques et des relations entre les côtés et les angles des triangles.
À l'apogée de la culture et de la science, au 1er millénaire après JC, la connaissance s'est répandue de l'Orient ancien jusqu'en Grèce. Mais les principales découvertes de la trigonométrie sont le mérite des hommes du Califat arabe. En particulier, le scientifique turkmène al-Marazwi a introduit des fonctions telles que la tangente et la cotangente et a compilé les premiers tableaux de valeurs pour les sinus, les tangentes et les cotangentes. Les concepts de sinus et de cosinus ont été introduits par des scientifiques indiens. La trigonométrie a reçu beaucoup d'attention dans les œuvres de grandes figures de l'Antiquité comme Euclide, Archimède et Ératosthène.
Grandeurs de base de la trigonométrie
Les fonctions trigonométriques de base d'un argument numérique sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente. Chacun d'eux a son propre graphe : sinus, cosinus, tangente et cotangente.
Les formules de calcul des valeurs de ces grandeurs sont basées sur le théorème de Pythagore. Il est mieux connu des écoliers dans la formulation : « Pantalon pythagoricien, égal dans toutes les directions », puisque la preuve est donnée à l'aide de l'exemple d'un triangle rectangle isocèle.
Les relations sinus, cosinus et autres établissent la relation entre les angles aigus et les côtés de tout triangle rectangle. Présentons les formules de calcul de ces quantités pour l'angle A et traçons les relations entre les fonctions trigonométriques :
Comme vous pouvez le voir, tg et ctg sont des fonctions inverses. Si nous imaginons la jambe a comme le produit du sin A et de l'hypoténuse c, et la jambe b comme cos A * c, nous obtenons les formules suivantes pour la tangente et la cotangente :
Cercle trigonométrique
Graphiquement, la relation entre les quantités mentionnées peut être représentée comme suit :
Le cercle, dans ce cas, représente toutes les valeurs possibles de l'angle α - de 0° à 360°. Comme le montre la figure, chaque fonction prend une valeur négative ou positive selon l'angle. Par exemple, sin α aura le signe « + » si α appartient aux 1er et 2ème quarts du cercle, c'est-à-dire qu'il est compris entre 0° et 180°. Pour α de 180° à 360° (quarts III et IV), sin α ne peut être qu'une valeur négative.
Essayons de construire des tableaux trigonométriques pour des angles spécifiques et découvrons la signification des quantités.
Les valeurs de α égales à 30°, 45°, 60°, 90°, 180° etc. sont appelées cas particuliers. Les valeurs des fonctions trigonométriques correspondantes sont calculées et présentées sous forme de tableaux spéciaux.
Ces angles n'ont pas été choisis au hasard. La désignation π dans les tableaux correspond aux radians. Rad est l'angle auquel la longueur d'un arc de cercle correspond à son rayon. Cette valeur a été introduite afin d'établir une dépendance universelle : lors du calcul en radians, la longueur réelle du rayon en cm n'a pas d'importance.
Les angles dans les tableaux des fonctions trigonométriques correspondent aux valeurs en radians :
Il n’est donc pas difficile de deviner que 2π est un cercle complet ou 360°.
Propriétés des fonctions trigonométriques : sinus et cosinus
Afin de considérer et de comparer les propriétés fondamentales du sinus et du cosinus, de la tangente et de la cotangente, il est nécessaire de dessiner leurs fonctions. Cela peut être réalisé sous la forme d'une courbe située dans un système de coordonnées bidimensionnel.
Considérez le tableau comparatif des propriétés du sinus et du cosinus :
| Onde sinusoïdale | Cosinus |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ODZ[-1 ; 1] | ODZ[-1 ; 1] |
| sin x = 0, pour x = πk, où k ϵ Z | cos x = 0, pour x = π/2 + πk, où k ϵ Z |
| sin x = 1, pour x = π/2 + 2πk, où k ϵ Z | cos x = 1, à x = 2πk, où k ϵ Z |
| sin x = - 1, à x = 3π/2 + 2πk, où k ϵ Z | cos x = - 1, pour x = π + 2πk, où k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, c'est-à-dire que la fonction est impaire | cos (-x) = cos x, c'est-à-dire que la fonction est paire |
| la fonction est périodique, la plus petite période est 2π | |
| sin x › 0, avec x appartenant au 1er et au 2ème quartiers ou de 0° à 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, avec x appartenant aux quartiers I et IV ou de 270° à 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, avec x appartenant aux troisième et quatrième quartiers ou de 180° à 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, avec x appartenant aux 2ème et 3ème quartiers ou de 90° à 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| augmente dans l'intervalle [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | augmente sur l'intervalle [-π + 2πk, 2πk] |
| diminue sur les intervalles [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | diminue à intervalles réguliers |
| dérivée (sin x)’ = cos x | dérivée (cos x)’ = - sin x |
Déterminer si une fonction est paire ou non est très simple. Il suffit d'imaginer un cercle trigonométrique avec les signes des grandeurs trigonométriques et de « plier » mentalement le graphique par rapport à l'axe OX. Si les signes coïncident, la fonction est paire, sinon elle est impaire.
L’introduction des radians et l’énumération des propriétés fondamentales des ondes sinusoïdales et cosinusoïdales nous permettent de présenter le schéma suivant :
Il est très simple de vérifier que la formule est correcte. Par exemple, pour x = π/2, le sinus est 1, tout comme le cosinus de x = 0. La vérification peut être effectuée en consultant des tableaux ou en traçant des courbes de fonctions pour des valeurs données.
Propriétés des tangentsoïdes et des cotangentsoïdes
Les graphiques des fonctions tangente et cotangente diffèrent considérablement des fonctions sinus et cosinus. Les valeurs tg et ctg sont réciproques l'une de l'autre.
- Y = bronzage x.
- La tangente tend vers les valeurs de y en x = π/2 + πk, mais ne les atteint jamais.
- La plus petite période positive de la tangentoïde est π.
- Tg (- x) = - tg x, c'est-à-dire que la fonction est impaire.
- Tg x = 0, pour x = πk.
- La fonction augmente.
- Tg x › 0, pour x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, pour x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Dérivée (tg x)' = 1/cos 2 x.
Considérez l'image graphique du cotangentoïde ci-dessous dans le texte.
Principales propriétés des cotangentoïdes :
- Y = lit bébé x.
- Contrairement aux fonctions sinus et cosinus, dans la tangentoïde Y peut prendre les valeurs de l'ensemble de tous les nombres réels.
- Le cotangentoïde tend vers les valeurs de y en x = πk, mais ne les atteint jamais.
- La plus petite période positive d'un cotangentoïde est π.
- Ctg (- x) = - ctg x, c'est-à-dire que la fonction est impaire.
- Ctg x = 0, pour x = π/2 + πk.
- La fonction est décroissante.
- Ctg x › 0, pour x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, pour x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Dérivée (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Correct
